O Básico Sobre Vetores

por LeandroDaher Dom 04 maio 2014, 20:18

Título: O Básico Sobre Vetores

Versão do GM: Todas

Dificuldade: Varia para cada pessoa

Link para download da Engine: Não possui engine

Requer Extensões: Não

Requer DLLs: Não

Tags: Básico; Vetor; Vetores; Matemática

Vetores

Vetores são amplamente utilizados no campo da matemática e física, principalmente no desenvolvimento de jogos sendo quase que obrigatório para todos os programadores. Utilizaremos vetores frequentemente durante o desenvolvimento de um jogo, seja quando quisermos implementar uma Inteligência Artificial ou apenas fazer coisas mais básicas como rotação e translação.

Mas o que é um vetor? Você provavelmente já aprendeu que um ponto no plano cartesiano pode ser expresso com dois números, por exemplo:

P = (x, y)

Um vetor 2D (bidimensional) é parecido, temos abaixo:

V = (x, y)

Entretanto, embora similares, um vetor representa dois valores: direção e magnitude. O lado direito da Figura 1 mostra o vetor (3, 2) situado na origem.

Figura 1: Um ponto P e um vetor V.

Adição de Vetores

Imagine que você está em uma ilha e tem um mapa e nele está escrito uma mensagem: O tesouro está enterrado no ponto X, você pode chegar até lá seguindo os vetores (-5, 5), (0, -10), (13, 7), (-4, 3).

Agora imagine que além de você existem mais três pessoas na ilha, cada uma com uma cópia deste mapa. Enquanto todos iam em direção a cada vetor você foi mais esperto e encontrou um caminho direto para o tesouro, quando todos chegaram o tesouro não estava mais lá e você saiu rindo e feliz da vida. Você se deu bem porque sabia que ao somar os vetores, você encontraria um único vetor que o levaria direto ao ponto X, resultando no vetor (4, 5), exatamente o mesmo resultado se seguisse cada vetor individualmente.

A Figura 2 mostra o caminho que seus três concorrentes seguiram e a Figura 3 mostra o caminho que você seguiu.

Figura 2

Figura 3

Portanto para somar os vetores, basta somar seus componentes individualmente. Por exemplo:

v = (4, 2)

u = (6, 3)

Vr = v + u

Vr = (4+6, 2+3)

Vr = (10, 5)

Diferença entre vetores

Se v=(x,y) e u=(a,b), definimos a diferença entre v e u, por:

v - u = (x-a,y-b)

Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(x,y) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c * v = (c * v_x, c * v_y)

Magnitude de um vetor

A magnitude (ou módulo) de um vetor é seu comprimento. Para calcular a magnitude basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, qual a magnitude do vetor (4, 5)?

Figura 4

Repare que devemos utilizar duas barras verticais em volta de um vetor para denotar seu comprimento.

Figura 5

Normalização de Vetores

Quando um vetor é normalizado, ele retém sua direção, mas sua magnitude (ou módulo) é recalculada para que tenha uma unidade de comprimento (um comprimento de 1). Para fazer isso divide-se cada componente do vetor pela magnitude dele. Sendo assim:

N = v / |v|

Para normalizar o vetor (4, 5) podemos fazer isto:

NovoX = 4 / 6.403 = 0.62

NovoY = 5 / 6.403 = 0.78

Vetores normalizados são muito úteis, você saberá o porquê em breve.

Produto escalar (Dot Product)

O produto escalar é o ângulo entre dois vetores. Dado dois vetores 2D u e v a equação é a seguinte:

u • v = u_xv_x + u_yv_y

O símbolo • denota o produto escalar (em inglês, ponto é dot). Entretanto a equação não nos dá um ângulo. Se você quer um ângulo, você vai ter um! Abaixo uma outra maneira de calcular o produto escalar:

u • v = |u||v| cos(Θ)

Rearranjando temos:

cos(Θ) = u • v / |u||v|

É aqui que você descobre um dos usos úteis da normalização de vetores, se u e v são normalizados, podemos simplificar a equação:

cos(Θ) = u • v / 1 x 1

cos(Θ) = u • v

cos(Θ) = u_xv_x + u_yv_y

Obs.: Θ = ângulo.

Um dos grandes usos do produto escalar é que você pode saber rapidamente quando um objeto está na frente ou atrás de outro. O produto escalar do vetor da face do objeto 1 e do vetor do objeto 2 para o objeto 1 será positivo se o objeto 2 estiver na frente do plano da face do objeto 1 e negativo se estiver atrás. Veja na figura 6.

Figura 6

Chegamos ao fim do tutorial, espero que tenha gostado. Espero que pesquisem mais sobre o assunto pois eu o abordei muito vagamente aqui, obrigado por ler.

por **fredcobain** Dom 04 maio 2014, 21:56

Leandro, seu tutorial está bem escrito, bem ilustrado e bem identado.

Mas eu acredito que iria agregar bastante valor vc dar uma aplicação prática (para jogos) dessa disciplina no seu tutorial. Em quais situações poderíamos aplicar esses conhecimentos ?

Eu sugiro começar pelas funções do GML lenghtdir_x e lenghtdir_y (que usam componentes de vetor).
Depois falar um pouco sobre as funções trigonometricas (e suas aplicações).

Com isso, certamente seu tutorial vai ter potencial para entrar no Staff Choice.

E aí, topa o desafio ?
=)

por LeandroDaher Dom 04 maio 2014, 22:19

Opa, gostei da ideia. Estou a uns dois anos sem mexer com GM, passei este tempo aprendendo sobre como criar jogos do zero (ainda não tomei vergonha na cara pra criar um jogo Smile

) e estudando um pouco de música. Vou preparar um material esta semana pra postar algo mais completo aqui, só preciso de uns dias pra organizar tudo pois tenho tempo apenas a noite. Valeu!

por **Gabreel** Seg 05 maio 2014, 03:10

Além do que o Fred falou aconselho que explique um pouco melhor os vetores, acho que é um pouco complicado você ir de uma ideia praticamente vazia para normas e consequentemente para ângulo entre vetores. Na realidade não só vetores são essenciais na programação de jogos como a trigonometria e toda geometria. O fórum precisa de mais aulinhas como essa, é até interessante, se você quiser, 'ensinar' esses assuntos!

por Conteúdo patrocinado

O Básico Sobre Vetores

O Básico Sobre Vetores

Re: O Básico Sobre Vetores

Re: O Básico Sobre Vetores

Re: O Básico Sobre Vetores

Re: O Básico Sobre Vetores